الهندسة في اختبار القدرات: القوانين وطريقة الحل
إعداد: فريق سِدافآخر تحديث:
الإجابة باختصار
الهندسة مجال من الجزء الكمي في اختبار القدرات العامة، وتمثل 10% من اختبار التخصصات العلمية و8% من اختبار التخصصات النظرية. تشمل الزوايا والمثلثات ونظرية فيثاغورس والأشكال الرباعية والدائرة والمساحات والمحيطات والأحجام وتشابه المثلثات والنظام الإحداثي، وتُحل دون آلة حاسبة بقوانين أساسية قليلة، مع إبقاء ط في الناتج كما هي.
حقائق مجال الهندسة من مصادر الهيئة
| البند | المعلومة | المصدر |
|---|---|---|
| وزنه في اختبار التخصصات العلمية | 10% من الاختبار | الدليل الإرشادي |
| وزنه في اختبار التخصصات النظرية | 8% من الاختبار | الدليل الإرشادي |
| القسم الذي يتبعه | الجزء الكمي، مع الحساب والجبر وتفسير البيانات | الدليل الإرشادي |
| المفاهيم | الأشكال، الزوايا، المساحات، الأحجام، المحيطات، المستقيمات، المثلث والأشكال الرباعية، نظرية فيثاغورس، المضلعات، تشابه المثلثات، الدائرة، المجسمات، النظام الإحداثي | الدليل الإرشادي |
| الأشكال المرسومة | يُكتب تحت أشكال أمثلة الدليل أن الرسم ليس على القياس | الدليل الإرشادي |
| الآلة الحاسبة | ممنوع استخدامها وإدخالها للقاعة بجميع أشكالها | موقع الهيئة |
كم نسبة الهندسة في اختبار القدرات؟
يحدد الدليل الإرشادي وزن كل مجال من مجالات الجزء الكمي بنسبة من الاختبار كاملاً، ويختلف الوزن بين اختبار التخصصات العلمية واختبار التخصصات النظرية.
المصدر: الدليل الإرشادي
| البند | التخصص العلمي | التخصص النظري |
|---|---|---|
| الهندسة | 10% | 8% |
| الجزء الكمي كاملاً | 45% | 25% |
بحساب بسيط من الجدول: الهندسة 10 من 45 في الاختبار العلمي، أي قرابة ربع الجزء الكمي، و8 من 25 في الاختبار النظري، أي قرابة ثلثه. فطالب المسار الشرعي أو مسار إدارة الأعمال يجد الهندسة أثقل نسبياً داخل الكمي، لأن الجبر غير مدرج في اختباره.
ما موضوعات الهندسة في القدرات؟
يذكر الدليل الإرشادي هذه المفاهيم أمثلة على ما يُقاس في مجال الهندسة، وينص على أنها ليست حصراً:
- الأشكال والمضلعات والمستقيمات والزوايا.
- المثلث والأشكال الرباعية ونظرية فيثاغورس.
- المساحات والمحيطات.
- الدائرة.
- الأحجام والمجسمات.
- تشابه المثلثات.
- النظام الإحداثي.
المصدر: الدليل الإرشادي
كل هذه موضوعات درستها في المرحلتين المتوسطة والثانوية. الجديد في القدرات هو أسلوب السؤال: شكل موصوف بمعطيات قليلة، والمطلوب أن تربط بين قانونين أو ثلاثة لتصل إلى الناتج بسرعة.
ما قوانين الهندسة التي أحتاجها في القدرات؟
هذه القوانين التي تتكرر في مسائل الهندسة، مرتبة حسب الموضوع. نرمز بالحرف ل لطول الضلع، ونق لنصف القطر، وع للارتفاع، ون لعدد الأضلاع.
| المفهوم | القانون |
|---|---|
| الزاويتان على مستقيم واحد | مجموعهما 180° |
| الزوايا حول نقطة | مجموعها 360° |
| زوايا المثلث | مجموعها 180° |
| الزاوية الخارجية للمثلث | تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها |
| زوايا الشكل الرباعي | مجموعها 360° |
| مجموع الزوايا الداخلية لمضلع | (ن − 2) × 180° |
| الزاوية الخارجية لمضلع منتظم | 360° ÷ ن |
| مستقيمان متوازيان يقطعهما مستقيم | الزاويتان المتبادلتان متساويتان، والمتناظرتان متساويتان، والداخليتان في جهة واحدة مجموعهما 180° |
| الشكل | المساحة | المحيط |
|---|---|---|
| المربع | ل² | 4 × ل |
| المستطيل | الطول × العرض | 2 × (الطول + العرض) |
| المثلث | ½ × القاعدة × الارتفاع | مجموع أطوال الأضلاع |
| المثلث المتطابق الأضلاع | (√3 ÷ 4) × ل² | 3 × ل |
| متوازي الأضلاع | القاعدة × الارتفاع | مجموع أطوال الأضلاع |
| المعين | ½ × القطر الأول × القطر الثاني | 4 × ل |
| شبه المنحرف | ½ × (مجموع القاعدتين المتوازيتين) × الارتفاع | مجموع أطوال الأضلاع |
| الدائرة | ط × نق² | 2 × ط × نق |
| القطاع الدائري | (الزاوية المركزية ÷ 360) × ط × نق² | طول القوس = (الزاوية المركزية ÷ 360) × 2 × ط × نق |
| المجسم | القانون |
|---|---|
| حجم المكعب | ل³ |
| مساحة سطح المكعب | 6 × ل² |
| حجم متوازي المستطيلات | الطول × العرض × الارتفاع |
| مساحة سطح متوازي المستطيلات | 2 × (الطول × العرض + العرض × الارتفاع + الطول × الارتفاع) |
| حجم الأسطوانة | ط × نق² × ع |
| المساحة الجانبية للأسطوانة | 2 × ط × نق × ع |
| حجم المخروط | ⅓ × ط × نق² × ع |
| حجم الهرم | ⅓ × مساحة القاعدة × الارتفاع |
| حجم الكرة | (4 ÷ 3) × ط × نق³ |
| مساحة سطح الكرة | 4 × ط × نق² |
| المفهوم | القانون |
|---|---|
| نظرية فيثاغورس | مربع الوتر = مجموع مربعي الضلعين الآخرين |
| قطر المربع | ل × √2 |
| المثلث 30° و60° و90° | الأضلاع بنسبة 1 : √3 : 2، والضلع المقابل للزاوية 30° نصف الوتر |
| المثلث 45° و45° و90° | الأضلاع بنسبة 1 : 1 : √2 |
| المسافة بين نقطتين | √((س٢ − س١)² + (ص٢ − ص١)²) |
| منتصف قطعة مستقيمة | ((س١ + س٢) ÷ 2 ، (ص١ + ص٢) ÷ 2) |
| ميل المستقيم | (ص٢ − ص١) ÷ (س٢ − س١) |
| نسبة مساحتي شكلين متشابهين | مربع نسبة التشابه |
| نسبة حجمي مجسمين متشابهين | مكعب نسبة التشابه |
كيف أحل أسئلة الزوايا والمثلثات في القدرات؟
أغلب أسئلة الزوايا تُحل بقاعدتين: مجموع زوايا المثلث 180°، ومجموع الزاويتين على مستقيم واحد 180°. ابدأ دائماً بكتابة كل زاوية معلومة، ثم ابحث عن مثلث أو مستقيم تعرف فيه كل الزوايا إلا واحدة.
- إذا أُعطيت الزوايا بنسبة مثل 1 : 2 : 3، فاجمع الأجزاء واقسم 180 على المجموع لتعرف قيمة الجزء الواحد.
- في المثلث المتطابق الضلعين تتساوى زاويتا القاعدة، وفي المثلث المتطابق الأضلاع كل زاوية 60°.
- الضلع الأطول في المثلث يقابل الزاوية الأكبر، وطول أي ضلع أقل من مجموع الضلعين الآخرين.
- الزاوية الخارجية للمثلث تختصر خطوة كاملة: هي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها، فلا تحتاج إلى حساب الزاوية المجاورة أولاً.
كيف أستخدم نظرية فيثاغورس بسرعة في القدرات؟
نظرية فيثاغورس من المفاهيم التي يسميها الدليل الإرشادي صراحة في مجال الهندسة. تطبيقها المباشر يحتاج إلى تربيع وجذر، وأسرع منه أن تحفظ ثلاثيات الأعداد الصحيحة التي تحققها، لأن واضعي الأسئلة يختارون أرقاماً سهلة:
المصدر: الدليل الإرشادي
| الثلاثية الأساسية | أمثلة على مضاعفاتها |
|---|---|
| 3 و4 و5 | 6 و8 و10، 9 و12 و15، 12 و16 و20 |
| 5 و12 و13 | 10 و24 و26 |
| 8 و15 و17 | 16 و30 و34 |
| 7 و24 و25 | 14 و48 و50 |
إذا رأيت ضلعين من ثلاثية أو من مضاعفاتها فاكتب الضلع الثالث مباشرة. وتذكّر أن الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة وهو الأطول دائماً، فلا تضع الوتر مكان أحد الضلعين.
كيف أتعامل مع الدائرة وقيمة ط في القدرات؟
في مثال الدائرة الذي ينشره الدليل الإرشادي يُذكر قانون مساحة الدائرة في نص السؤال، وتأتي الخيارات بدلالة ط دون تعويض قيمتها. فلا تحوّل ط إلى عدد عشري إلا إذا طلب السؤال ذلك، واترك الناتج مثل 25 ط كما هو.
المصدر: الدليل الإرشادي
- القطر ضعف نصف القطر. كثير من الأخطاء سببها التعويض بالقطر في قانون المساحة.
- إذا عرفت المحيط فاقسمه على 2 ط لتحصل على نصف القطر، ثم احسب المساحة.
- الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية المشتركة معها في القوس نفسه، والزاوية المحيطية المرسومة على القطر قائمة.
- المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس، وهذا يصنع لك مثلثاً قائماً جاهزاً لفيثاغورس.
- مساحة المنطقة المظللة غالباً هي مساحة شكل كبير مطروحاً منها مساحة شكل أصغر بداخله.
ما تشابه المثلثات وكيف يأتي في أسئلة القدرات؟
تشابه المثلثات من المفاهيم المذكورة في الدليل الإرشادي. يتشابه المثلثان إذا تساوت زواياهما المتناظرة، وعندها تتناسب أطوال أضلاعهما المتناظرة.
المصدر: الدليل الإرشادي
- يكفي أن تتساوى زاويتان في المثلثين لتتساوى الثالثة، فيتشابها.
- إذا رُسم في مثلث مستقيم يوازي أحد أضلاعه، نتج مثلث صغير يشابه المثلث الكبير.
- مسائل الظلال من التشابه: في اللحظة نفسها تكون نسبة طول الجسم إلى طول ظله ثابتة لكل الأجسام.
- إذا كانت نسبة التشابه 1 : 2 فنسبة المساحتين 1 : 4، ونسبة الحجمين في المجسمات المتشابهة 1 : 8.
كيف أحل أسئلة المستوى الإحداثي في القدرات؟
النظام الإحداثي آخر مفاهيم الهندسة في قائمة الدليل الإرشادي. النقطة تُكتب (س، ص): الإحداثي السيني أولاً ثم الصادي.
المصدر: الدليل الإرشادي
- المسافة بين نقطتين هي وتر مثلث قائم ضلعاه الفرق بين السينات والفرق بين الصادات، فقد تكفيك ثلاثية فيثاغورس بدل القانون كاملاً.
- إذا تساوى الإحداثي السيني لنقطتين فالمسافة بينهما هي الفرق بين الصادين مباشرة، والعكس صحيح.
- لحساب مساحة شكل رؤوسه معلومة، ارسمه تقريبياً على المسودة واقرأ طول القاعدة والارتفاع من الإحداثيات.
ما الأخطاء الشائعة في أسئلة الهندسة؟
في أمثلة الدليل الإرشادي يُكتب تحت الأشكال أن الرسم ليس على القياس، فالزاوية التي تبدو قائمة قد لا تكون كذلك، والضلعان اللذان يبدوان متساويين قد يختلفان. احسب من المعطيات المكتوبة وحدها.
المصدر: الدليل الإرشادي
- الخلط بين المحيط والمساحة، أو بين القطر ونصف القطر.
- نسيان تربيع نسبة التشابه عند المقارنة بين المساحات.
- خلط الوحدات: سنتيمترات مع أمتار، أو مساحة بوحدة مربعة مع حجم بوحدة مكعبة.
- جمع الضلعين في المثلث القائم بدل تطبيق فيثاغورس.
- تعويض ط بالقيمة 3.14 دون حاجة، ثم البحث عن ناتج عشري غير موجود بين الخيارات.
والآلة الحاسبة ممنوعة في الاختبار، وتذكر الهيئة أن أرقام الأسئلة سهلة. لذلك إذا وصلت إلى عدد معقد جداً فراجع خطوتك قبل أن تكمل.
المصدر: موقع الهيئة
لتجرّب الهندسة مع بقية مجالات الكمي تحت الوقت، ابدأ اختبار القدرات التجريبي
نماذج أسئلة هندسة قدرات محلولة
كتب فريق سِداف هذه الأسئلة على نمط أسئلة الهندسة في الجزء الكمي لتوضيح طريقة الحل، وهي ليست من أسئلة الاختبار الفعلي. الأشكال موصوفة بالكلمات بدل الرسم.
السؤال 1: الزوايا: زوايا المثلث
مثلث قياسات زواياه بنسبة 2 : 3 : 4. ما قياس أكبر زاوية فيه؟
- أ)60°
- ب)80°
- ج)90°
- د)100°
اعرض الإجابة والشرح
الإجابة الصحيحة: (ب) 80°
مجموع الأجزاء 2 + 3 + 4 = 9 أجزاء، ومجموع زوايا المثلث 180°، فالجزء الواحد 180 ÷ 9 = 20°. أكبر زاوية 4 أجزاء، أي 4 × 20 = 80°. والزوايا الثلاث 40° و60° و80° ومجموعها 180°. الخيار 60° هو الزاوية الوسطى لا الكبرى.
السؤال 2: المثلث: نظرية فيثاغورس
سلّم طوله 13 متراً يستند طرفه العلوي إلى جدار رأسي، وطرفه السفلي على أرض أفقية يبعد 5 أمتار عن قاعدة الجدار. على أي ارتفاع من الأرض يلامس السلّم الجدار؟
- أ)8 أمتار
- ب)18 متراً
- ج)12 متراً
- د)10 أمتار
اعرض الإجابة والشرح
الإجابة الصحيحة: (ج) 12 متراً
الجدار والأرض والسلّم تصنع مثلثاً قائماً وتره السلّم. مربع الارتفاع = 13² − 5² = 169 − 25 = 144، فالارتفاع 12 متراً. ولو تذكرت الثلاثية 5 و12 و13 لعرفت الجواب مباشرة. الخيار 8 هو الفرق 13 − 5، والخيار 18 هو مجموعهما، وكلاهما خطأ من يطرح الأطوال أو يجمعها بدل تطبيق النظرية.
السؤال 3: الدائرة: المحيط والمساحة
دائرة محيطها 10 ط سم. ما مساحتها؟
- أ)10 ط سم²
- ب)100 ط سم²
- ج)50 ط سم²
- د)25 ط سم²
اعرض الإجابة والشرح
الإجابة الصحيحة: (د) 25 ط سم²
المحيط = 2 × ط × نق، فإذا كان 10 ط فإن نق = 10 ÷ 2 = 5 سم. المساحة = ط × نق² = ط × 25 = 25 ط سم². الخيار 100 ط ينتج عن التعويض بالقطر 10 بدل نصف القطر، وهو أشهر خطأ في أسئلة الدائرة.
السؤال 4: الأحجام: سؤال مقارنة
قارن بين القيمة الأولى: حجم مكعب طول حرفه 3 سم، والقيمة الثانية: حجم متوازي مستطيلات أبعاده 2 سم و3 سم و4 سم.
- أ)القيمة الأولى أكبر من الثانية
- ب)القيمة الثانية أكبر من الأولى
- ج)القيمتان متساويتان
- د)المعطيات غير كافية
اعرض الإجابة والشرح
الإجابة الصحيحة: (أ) القيمة الأولى أكبر من الثانية
حجم المكعب = 3 × 3 × 3 = 27 سم³، وحجم متوازي المستطيلات = 2 × 3 × 4 = 24 سم³، فالقيمة الأولى أكبر. القيمتان محددتان بأرقام بلا مجهول، فلا يمكن أن يكون الجواب أن المعطيات غير كافية.
السؤال 5: تشابه المثلثات: الظلال
في لحظة واحدة، كان طول ظل عمود رأسي طوله 2 متر يساوي 3 أمتار، وكان طول ظل شجرة رأسية 12 متراً. ما طول الشجرة؟
- أ)6 أمتار
- ب)8 أمتار
- ج)9 أمتار
- د)18 متراً
اعرض الإجابة والشرح
الإجابة الصحيحة: (ب) 8 أمتار
العمود وظله والشجرة وظلها تصنع مثلثين متشابهين، فنسبة الطول إلى الظل ثابتة: الطول ÷ 12 = 2 ÷ 3، إذن الطول = 12 × 2 ÷ 3 = 8 أمتار. الخيار 18 ينتج عن قلب النسبة، أي ضرب 12 في 3 ÷ 2.
السؤال 6: النظام الإحداثي: المسافة بين نقطتين
ما المسافة بين النقطة أ (1، 2) والنقطة ب (4، 6) في المستوى الإحداثي؟
- أ)5 وحدات
- ب)7 وحدات
- ج)25 وحدة
- د)3 وحدات
اعرض الإجابة والشرح
الإجابة الصحيحة: (أ) 5 وحدات
الفرق بين السينات 4 − 1 = 3، والفرق بين الصادات 6 − 2 = 4، والمسافة وتر مثلث قائم ضلعاه 3 و4، فهي √(9 + 16) = √25 = 5 وحدات، وهي الثلاثية 3 و4 و5. الخيار 7 هو مجموع الفرقين، والخيار 25 هو مربع المسافة قبل أخذ الجذر.
أسئلة شائعة عن الهندسة في القدرات
كم نسبة الهندسة في اختبار القدرات؟
تمثل الهندسة 10% من اختبار التخصصات العلمية و8% من اختبار التخصصات النظرية، حسب جدول المجالات في الدليل الإرشادي لاختبار القدرات العامة.
هل توجد هندسة في قدرات التخصصات النظرية؟
نعم. الهندسة مدرجة في اختبار التخصصات النظرية بنسبة 8% من الاختبار، والمجال الكمي الوحيد غير المدرج فيه هو الجبر.
ما أهم قوانين الهندسة في القدرات؟
أهمها مجموع زوايا المثلث 180°، ونظرية فيثاغورس وثلاثياتها، ومساحات المربع والمستطيل والمثلث وشبه المنحرف، ومحيط الدائرة 2 ط نق ومساحتها ط نق²، وحجم المكعب ومتوازي المستطيلات والأسطوانة، وقانون المسافة بين نقطتين.
هل أعوّض ط بالعدد 3.14 في القدرات؟
غالباً لا تحتاج إلى ذلك. في مثال الدائرة المنشور في الدليل الإرشادي جاءت الخيارات بدلالة ط، فاترك ط في الناتج إلا إذا طلب السؤال قيمة تقريبية.
هل أعتمد على الرسم في أسئلة الهندسة؟
لا. تحت أشكال أمثلة الدليل الإرشادي عبارة الرسم ليس على القياس، فاستخرج الأطوال والزوايا من المعطيات المكتوبة لا من مظهر الشكل.
كيف أذاكر الهندسة للقدرات؟
احفظ جدول القوانين في هذه الصفحة، ثم حل أسئلة قصيرة على كل موضوع وحده، وبعدها أسئلة مختلطة تحت الوقت، وراجع كل خطأ لتعرف هل سببه قانون نسيته أم قراءة متعجلة للمعطيات.
المصادر
- الدليل الإرشادي لاختبار القدرات العامة، هيئة تقويم التعليم والتدريب
- المركز الوطني للقياس (قياس): صفحة المركز واختباراته، هيئة تقويم التعليم والتدريب